Salut! Je suis un fournisseur deSemi-axe, et aujourd'hui, je veux discuter de la façon de calculer le semi-axe d'une ellipse en utilisant la géométrie des coordonnées. Cela peut sembler un peu technique au début, mais croyez-moi, ce n'est pas aussi compliqué qu'il y paraît.
Qu'est-ce qu'une ellipse?
Avant de plonger dans les calculs, passons rapidement en revue ce qu'est une ellipse. Une ellipse est une courbe fermée dans un plan où la somme des distances de n'importe quel point de la courbe à deux points fixes (appelés foyers) est constant. Vous pouvez le considérer comme un cercle écrasé. Il a deux axes: l'axe majeur, qui est le plus long diamètre de l'ellipse, et l'axe mineur, qui est le diamètre le plus court. L'axe semi-majeur (A) et le semi-axe mineur (b) sont respectivement la moitié des axes majeurs et mineurs.
L'équation standard d'une ellipse
L'équation standard d'une ellipse centrée sur l'origine ((0,0)) dans le plan de coordonnées se présente sous deux formes en fonction de son orientation.
Ellipse horizontale
Si l'axe majeur est le long de l'axe x - l'équation standard de l'ellipse est (\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1), où (a> b> 0). Ici, (a) est l'axe semi-majeur et (b) est l'axe semi-mineur.
Ellipse verticale
Si l'axe majeur est le long de l'axe y -, l'équation standard est (\ frac {x ^ {2}} {b ^ {2}} + \ frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} = 1), où (a> b> 0). Encore une fois, (a) est l'axe semi-majeur et (b) est l'axe semi-mineur.
Calcul des axes semi-axés à partir de l'équation
Disons que vous avez l'équation d'une ellipse. Par exemple, considérons l'équation (\ frac {x ^ {2}} {25} + \ frac {y ^ {2}} {9} = 1). Étant donné que le dénominateur sous (x ^ {2}) est plus grand ((25> 9)), le principal axe est le long de l'axe x -.
Nous savons que la forme standard d'une ellipse horizontale est (\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1). Comparaison (\ frac {x ^ {2}} {25} + \ frac {y ^ {2}} {9} = 1) avec la forme standard, nous pouvons voir que (a ^ {2} = 25) et (b ^ {2} = 9).
Pour trouver (a) et (b), nous prenons la racine carrée des valeurs respectives. Donc, (a = \ sqrt {25} = 5) et (b = \ sqrt {9} = 3). Ici, (a = 5) est l'axe semi-majeur et (b = 3) est l'axe semi-mineur.
Si nous avions une équation comme (\ frac {x ^ {2}} {4} + \ frac {y ^ {2}} {16} = 1), puisque le dénominateur sous (y ^ {2}) est plus grand ((16> 4)), l'axe majeur est le long de l'axe y -.
En comparant avec la forme standard (\ frac {x ^ {2}} {b ^ {2}} + \ frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} = 1), nous avons (b ^ {2} = 4) et (a ^ {2} = 16). Prenant les racines carrées, nous obtenons (b = 2) et (a = 4). Ainsi, l'axe semi-majeur (a = 4) et l'axe semi-mineur (b = 2).
Calcul des axes semi-axés à partir de points sur l'ellipse
Parfois, on pourrait ne pas vous donner directement l'équation de l'ellipse, mais plutôt quelques points sur l'ellipse. Supposons que nous ayons une ellipse centrée sur l'origine et que nous connaissons deux points ((x_1, y_1)) et ((x_2, y_2)) sur l'ellipse.
Pour une ellipse horizontale (\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1), si nous substituons les points ((x_1, y_1)) et ((x_2, y_2)) dans l'équation, nous obtenons deux équations:
(\ frac {x_ {1} ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {y_ {1} ^ {2}} {b ^ {2}} = 1) et (\ frac {x_ {2} ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {y_ {2} ^ {2}} {b ^ {2}} = 1)
Soit (u = \ frac {1} {a ^ {2}}) et (v = \ frac {1} {b ^ {2}}). Ensuite, les équations deviennent (x_ {1} ^ {2} u + y_ {1} ^ {2} v = 1) et (x_ {2} ^ {2} u + y_ {2} ^ {2} v = 1)
Nous pouvons résoudre ce système d'équations linéaires pour (u) et (v) en utilisant des méthodes comme la substitution ou l'élimination. Une fois que nous avons (u) et (v), nous pouvons trouver (a = \ frac {1} {\ sqrt {u}}) et (b = \ frac {1} {\ sqrt {v}})
Par exemple, si nous avons les points ((3,0)) et ((0,2)) sur l'ellipse.
Substituant ((3,0)) en (\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1), nous obtenons (\ frac {3 ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {0 ^ {2}} {b ^ {2}} = 1), qui simplifie à (\ frac {9} {a ^ {2}} = 1), donc (a ^ {2} = 9) et (a = 3)
Substituant ((0,2)) en (\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1), nous obtenons (\ frac {0 ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {2 ^ {2}} {b ^ {2}} = 1), qui simplifie à (\ frac {4} {b ^ {2}} = 1), donc (b ^ {2} = 4) et (b = 2)
Applications dans la vraie vie
Le calcul des semi-axes d'une ellipse a de nombreuses applications de vie réelles. En astronomie, les orbites des planètes autour du soleil sont elliptiques. En calculant les semi-axes de ces orbites, les astronomes peuvent prédire la position des planètes à différents moments.
En ingénierie, des formes elliptiques sont utilisées dans la conception de structures telles que les arches et les dômes. Connaître les semi-axes aide à déterminer les dimensions et la force de ces structures.
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Références
- Anton, Howard. "Calculus: Transcendantaux précoces." Wiley, 2012.
- Larson, Ron. "Calcul." Cengage Learning, 2018.